在上期文章《从辅助线巧证托勒密定理谈起》我们介绍了下图所示的两角和差三角函数公式：

这组公式共四个，我们把它简写成两个。因为上图所示的公式非常重要，所以用蓝色边框加以强调。

这两个公式看起来很复杂，但是可以画图用托勒密定理推导求证，详情请看前面提到的我的往期文章。公式的记忆有两个要点：

首先，sin从sin开始，按照sin，cos，cos，sin的顺序；cos从cos开始，按照cos，cos，sin，sin的顺序，且α和β交替出现。

另外，sin中+对+，-对+；cos中+对-，-对+。

这两个公式也可以写成下图所示的四个：

这四个公式在三角公式中的地位之高，好比《流星花园》中的F4，又好比上个世纪香港歌坛的四大天王。

有人会问，怎么没看见正切函数的两角和差公式呢？这就引出了本文的主题：我们来推导正切函数的和差角公式。

凡事都有一个出发点，比如阿基米德撬动地球需要一个支点，我们推导正切、余切函数两角和差公式的出发点如下图所示：

我们先在纸上写下：tan(α+β)=

右边画一条分数线，分子的位置写sin(α+β)，分母的位置写cos(α+β)

这是第一步，接下来该如何处理呢？当然是用四大天王公式啦！

第二步完成了。现在考虑等式的右边需要把正弦函数和余弦函数变换为正切函数，或者约分化为1。根据这个思路，容易想到把分式的分子分母都除以cosαcosβ ，这就是第三步：

效果出奇地好，四大天王公式有的部分变换为正切函数，有的部分约成“1”了。

整理化简后得到最终的答案如下图所示：

理解了以上的推导过程，不但不会弄错等式右边分子分母的加减号，而且能立刻推算出tan(α-β)公式中等号右边是什么，请看下图：

正切函数的两角和差公式如下图所示：

这两个公式没有用蓝色边框把它们框起来，是因为我们可以用四大天王公式推导出来，不必死记硬背，可以减少背诵量减轻记忆的负担。

古人说，身怀利器，杀心自起。我们用一道简单的例题来练练。

题目呈现：求tan15°的值。

解：

分母有理化的诀窍是分子分母都乘以有理化因式，再整理化简。

今天就到此为止，下次我们再聊聊怎样用四大天王公式推导倍角公式。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。